저울(KOI 2014지역본선 고등부 2번)

무게가 서로 다른 N 개의 물건이 있다. 각 물건은 1부터 N 까지 번호가 매겨져 있다. 우리는 일부 물건 쌍에 대해서 양팔 저울로 어떤 것이 무거운 것인지를 측정한 결과표를 가지고 있다. 이 결과표로부터 직접 측정하지 않은 물건 쌍의 비교 결과를 알아낼 수도 있고 알아내지 못할 수도 있다. 예를 들어, 총 6개의 물건이 있고, 다음 5개의 비교 결과가 주어졌다고 가정하자. ([1]은 1번 물건의 무게를 의미한다.) [1]>[2], [2]>[3], [3]>[4], [5]>[4], [6]>[5] 우리는 [2]>[3], [3]>[4]로부터 [2]>[4]라는 것을 알 수 있다. 하지만, 물건 2와 물건 6을 비교하는 경우, 앞서의 결과만으로는 어느 것이 무거운지 알 수 없다. 이와 같이, 물건 2는 물건 1, 3, 4와의 비교 결과는 알 수 있지만, 물건 5, 6과의 비교 결과는 알 수 없다. 물건 4는 모든 다른 물건과의 비교 결과를 알 수 있다. 비교 결과가 모순되는 입력은 없다고 가정한다. 위 예제의 기존 측정 결과에 [3]>[1]이 추가되었다고 가정하자. 이 경우 [1]>[2], [2]>[3]이므로 우리는 [1]>[3]이라는 것을 예측할 수 있는데, 이는 기존에 측정된 결과 [3]>[1]과 서로 모순이므로 이러한 입력은 가능하지 않다. 물건의 개수 N 과 일부 물건 쌍의 비교 결과가 주어졌을 때, 각 물건에 대해서 그 물건과의 비교 결과를 알 수 없는 물건의 개수를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫 줄에는 물건의 개수 N 이 주어지고, 둘째 줄에는 미리 측정된 물건 쌍의 개수 M이 주어진다. 단, 5 ≤ N ≤ 100 이고, 0 ≤ M ≤ 2,000이다. 다음 M개의 줄에 미리 측정된 비교 결과가 한 줄에 하나씩 주어진다. 각 줄에는 측정된 물건 번호를 나타내는 두 개의 정수가 공백을 사이에 두고 주어지며, 앞의 물건이 뒤의 물건보다 더 무겁다

출력

여러분은 N개의 줄에 결과를 출력해야 한다. i 번째 줄에는 물건 i 와 비교 결과를 알 수 없는 물건의 개수를 출력한다.

예제 입력

6
5
1 2
2 3
3 4
5 4
6 5

예제 출력

2
2
2
0
3
3
Floyd-Warshall
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7개의 풀이가 있습니다.

이 문제는 전체 노드에 대한 최단경로 문제인 플로이드 와셜 알고리즘으로 해결할 수 있습니다. 각 물건에 대해서 주어진 정보를 이용해서 더 무거운 물건에서 가벼운 물건으로 가중치 1인 간선을 그린다고 생각하면 우리는 물건을 정점으로하는 방향 그래프를 얻을 수 있습니다. 이 방향 그래프에서 어떠한 정점 i에서 j로 가는 방법 있거나 j에서 i로 가는 방법이 있다면 물건 i와 j의 비교결과를 알 수 있다는 뜻입니다. 따라서 플로이드 와셜 알고리즘으로 모든 정점에 대해서 최단거리를 구해준뒤에 각 물건에 대해서 비교결과를 알 수 있는 물건의 개수를 찾아낼 수 있습니다. 시간 복잡도는 O(N^3)이고, 아래는 제 C++코드입니다.

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <algorithm> 
using namespace std;

#define INF 987654321

int relationship[101][101]; 

int main(){
    for (int i = 0; i < 101; i++){
        for (int j = 0; j < 101; j++){
            if (i == j) relationship[i][j] = 0;  
            else relationship[i][j] = INF; 
        }
    }
    int N,M; 
    cin >> N >> M;  
    for (int i = 0; i < M; i++){
        int a,b; 
        cin >> a >> b;  
        --a,--b; 
        relationship[a][b] = 1; 
    }
    for (int k = 0; k < N; k++){
        for (int i = 0; i < N; i++){
            for (int j = 0; j < N; j++){
                relationship[i][j] = min(relationship[i][j],relationship[i][k]+relationship[k][j]);  
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < N; i++){
        int cnt = 0; 
        for (int j = 0; j < N; j++){
            if (i == j) continue; 
            if (relationship[i][j] == INF && relationship[j][i] == INF){
                ++cnt; 
            }
        }
        cout << cnt << endl; 
    }
    return 0; 
}
더 많은 데이터로 채점을 원하시면 https://www.acmicpc.net/problem/10159 에서 코드를 제출해보세요! - iljimae, 2016/06/02 15:45 M D
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Ruby

수정. { 대표수 => 비교 가능한 수 }로 표현.
{ 1=>[1, 2, 3, 4], 6=>[6, 5, 4] }. 2는 1234와 비교가능, 4는 1234, 654와 비교가능

def make_group
  scales = proc { (1..gets.to_i).map { gets.split.map(&:to_i) } }
  connect = ->set,pair do
    left, right = pair
    pushed = set.select {|key,vals| set[key] << right if vals.index(left) }
    set[left] = set[right]? [left]+set.delete(right) : pair if pushed.size.zero?
    set
  end
  [gets.to_i, scales[].reduce({}, &connect)]
end

def unknowns
  known = ->i,group { group.reduce([]) {|a,(_,mem)| mem.index(i)? a|mem : a } }
  n, group = make_group
  (1..n).map {|i| n - known[i, group].size }
end

Test

case_all_chained = ["5", "4", "3 4", "2 3", "1 2", "4 5"].join("\n")
case_part_merged = ["5", "4", "2 3", "1 3", "5 4", "2 4"].join("\n")
case_part_chained = ["6", "5", "1 2", "2 3", "3 4", "5 4", "6 5"].join("\n")

$stdin = StringIO.new(case_all_chained) #=> for stdin test
expect( unknowns() ).to eq [0, 0, 0, 0, 0] #=>{1=>[1,2,3,4,5]}

$stdin = StringIO.new(case_part_merged)
expect( unknowns() ).to eq [3, 2, 1, 1, 3] #=> {2=>[2,3,4] 1=>[1,3], 5=>[5,4]}

$stdin = StringIO.new(case_part_chained)
expect( unknowns() ).to eq [2, 2, 2, 0, 3, 3] #=> {1=>[1,2,3,4], 6=>[6,5,4]}

Output

#=> puts unknowns
6
5
1 2
2 3
3 4
5 4
6 5

2
2
2
0
3
3
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배열에 대한 정보를 받아 Matrix를 구성하여 대소 관계에 따른 값을 1로 정의하고 정량화된 값이 나오면 연결된 것으로, Inf가 나오면 관계를 알 수 없다고 정의한다. 정의된 관계에 따라 Matrix 값을 채워서 Inf가 나온 갯수가 해이다.

""" -- coding : utf-8 -- from numpy import *

""" 5 <= a <= 100, b <= 2000 a = 6; b = 5;

k_relation = ([1, 2], [2, 3], [3, 4], [5, 4], [6, 5]);

total_relation = zeros((a, a))

""" array initialization for i in range(0, a, 1): for j in range(0, a, 1): if (i == j): total_relation[i][j] = 0; else: total_relation[i][j] = inf;

for k in range(0, b, 1): m = k_relation[k][0] - 1; n = k_relation[k][1] - 1; if (m != n): total_relation[m][n] = 1; #total_relation[n][m] = -1;

for k in range(0, a, 1): for i in range(0, a, 1): for j in range(0, a, 1): i_temp = total_relation[i][j] i_temp2 = total_relation[i][k] + total_relation[k][j] total_relation[i][j] = min(i_temp, i_temp2)

print "******" print "Unknown relationship between items" print "******" for i in range(0, a, 1): cnt = 0 for j in range(0, a, 1): if (i != j): if (total_relation[i][j] == inf and total_relation[j][i] == inf): cnt = cnt + 1; print i+1, "--> ", cnt

print total_relation ```

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>


int** relation;
void lighter(int value, int** M, int size, int me);
void heavier(int value, int** M, int size, int me);

void main(void) {
    int N = 0;
    int M_size = 0;

    scanf("%d",& N);
    scanf("%d",& M_size);

    int* out = (int*) malloc (sizeof(int) * N+1);
    relation = (int**) malloc (sizeof(int*) * N+1);
    for(int i = 0; i<=N ;i++)
        relation[i] = (int*) malloc (sizeof(int) * N+1);

    int** M = (int**) malloc (sizeof(int*) * M_size); 
    for(int i = 0 ; i < M_size; i++)
        M[i] = (int*) malloc (sizeof(int) * 2);

    for(int i = 1 ; i <= N; i++) 
        for(int j = 1 ; j <= N; j++)
            relation[i][j] = 0;

    for(int i = 1 ; i <= N; i++) 
        out[i] = 0;

    for(int i = 0; i < M_size; i++)
        scanf("%d%d",&M[i][0], &M[i][1]);


    for(int i = 1 ; i <= N; i++) {
        for(int j = 0 ; j < M_size; j++) {
            if(M[j][0] == i) {
                relation[i][M[j][1]] = 1;  
                lighter(M[j][1] ,M ,M_size, i);
            } 
        }

        for(int j = 0 ; j < M_size; j++) {
            if(M[j][1] == i) {
                relation[i][M[j][0]] = 1;
                heavier(M[j][0] ,M ,M_size, i);
            } 
        }

        for(int j = 1 ; j <= N ; j++)
            if(relation[i][j] == 0)
                out[i]++;
    }

    printf("\n\n");
    for(int i = 1; i<= N; i++)
        printf("%d\n", out[i]-1);
} 
void heavier(int value, int** M, int size, int me) {
    for(int i = 0 ; i < size; i++) {
        if(value == M[i][1]) {
            relation[me][M[i][0]] = 1;
            heavier(M[i][0], M ,size, me);
        }
    }
}

void lighter(int value, int** M, int size, int me) {

    for(int i = 0 ; i < size; i++) {
        if(value == M[i][0]) {  
            relation[me][M[i][1]] = 1;
            lighter(M[i][1], M ,size, me);
        }
    }
}
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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>


int** relation;
void lighter(int value, int** M, int size, int me);
void heavier(int value, int** M, int size, int me);

void main(void) {
    int N = 0;
    int M_size = 0;

    scanf("%d",& N);
    scanf("%d",& M_size);

    int* out = (int*) malloc (sizeof(int) * N+1);
    relation = (int**) malloc (sizeof(int*) * N+1);
    for(int i = 0; i<=N ;i++)
        relation[i] = (int*) malloc (sizeof(int) * N+1);

    int** M = (int**) malloc (sizeof(int*) * M_size); 
    for(int i = 0 ; i < M_size; i++)
        M[i] = (int*) malloc (sizeof(int) * 2);

    for(int i = 1 ; i <= N; i++) 
        for(int j = 1 ; j <= N; j++)
            relation[i][j] = 0;

    for(int i = 1 ; i <= N; i++) 
        out[i] = 0;

    for(int i = 0; i < M_size; i++)
        scanf("%d%d",&M[i][0], &M[i][1]);


    for(int i = 1 ; i <= N; i++) {
        for(int j = 0 ; j < M_size; j++) {
            if(M[j][0] == i) {
                relation[i][M[j][1]] = 1;  
                lighter(M[j][1] ,M ,M_size, i);
            } 
        }

        for(int j = 0 ; j < M_size; j++) {
            if(M[j][1] == i) {
                relation[i][M[j][0]] = 1;
                heavier(M[j][0] ,M ,M_size, i);
            } 
        }

        for(int j = 1 ; j <= N ; j++)
            if(relation[i][j] == 0)
                out[i]++;
    }

    printf("\n\n");
    for(int i = 1; i<= N; i++)
        printf("%d\n", out[i]-1);
} 
void heavier(int value, int** M, int size, int me) {
    for(int i = 0 ; i < size; i++) {
        if(value == M[i][1]) {
            relation[me][M[i][0]] = 1;
            heavier(M[i][0], M ,size, me);
        }
    }
}

void lighter(int value, int** M, int size, int me) {

    for(int i = 0 ; i < size; i++) {
        if(value == M[i][0]) {  
            relation[me][M[i][1]] = 1;
            lighter(M[i][1], M ,size, me);
        }
    }
}
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  1. 파이썬 3.5
  2. 고등학교 수학에서 나오는 인접행렬을 모티브로 하였습니다.
  3. numpy.array에서 한 행을 뽑아서 list를 만드는 법을 몰라서 #4에서 그냥 줄줄 풀어서 서술했습니다.
import numpy as np

#1. 정보 입력받기
N = int(input('대상의 갯수:'))
M = int(input('측정된 결과의 수:'))
hub = []
for i in range(M):
    hub.append(input())

#2. 인접행렬만들기
Mx = np.eye(N,dtype=int)
for str in hub:
    Mx[int(str.split(' ')[0])-1][int(str.split(' ')[1])-1]=1
    #hub에 저장되 있는 값은 'n m'형식이므로 n-1행 m-1열에 넣기위한 작업
Mx = Mx + Mx.T - np.eye(N,dtype=int)

#3. 행렬을 N-1번 곱하여 각각의 물건의 무게를 잴 수 있는지 파악
Mx_adj = Mx
for i in range(N-1):
    Mx_adj = Mx_adj.dot(Mx)

#4. 각 행의 0인 갯수 세기
result=[]
for i in range(N):
    result_hub=[]
    for j in range(N):
        result_hub.append(int(Mx_adj[i][j]))
    result.append(result_hub.count(0))

#5. 출력
for i in range(N):
    print('물건{} {}'.format(i+1,result[i]))

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가중치가 없고 연결되었는지만 알면 되기 떄문에 굳이 O(N^3)으로 최단거리를 구할 필요는 없습니다.

.

먼저 주어진 비교 데이터를 단방향 간선으로 삼은 그래프 G = (V, E)와,

G의 간선들을 뒤집은 그래프 G' = (V, E')를 만듭니다.

(주의: 양방향 그래프 하나만 만들면 같은 결과가 안 나옵니다)

.

그리고 각 정점 v에 대해,

그래프 G의 정점 v에서 DFS를 수행해서 v보다 확실히 큰 수들을 구하고,

그래프 G'의 정점 v에서 DFS를 수행해서 정점 v보다 확실히 작은 수들을 구하면,

이 둘의 합집합이 v보다 확실히 크거나 확실히 작은 정점들이 됩니다.

.

수행 시간은

인접 리스트 생성에 O(E),

DFS가 각 edge를 최대 한 번씩 검사하므로 O(E), 그리고 각 정점에서 DFS를 두 번 수행하므로

전체 수행시간은 O(E) + 2 * V * O(E) = O(VE) 가 됩니다.

간선의 개수에 따라 최소 O(N), 평균 O(N^2) (정확하진 않음), 완전 그래프에서 O(N^3) 이라고 할 수 있습니다.

def DFS(v, E, visit):
    visit.add(v)
    for w in E[v]:  # v-->w 간선이 존재
        if w not in visit:
            DFS(w, E, visit)

    return visit


N, M, comp = 6, 5, [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 4), (6, 5)]
V = range(1, N + 1)
E, Ei = {v:set() for v in V}, {v:set() for v in V}  # 인접 리스트 * 2

for u, v in comp:
    E[u].add(v)
    Ei[v].add(u) # 뒤집은 간선

for v in V:
    connected = DFS(v, E, set()) | DFS(v, Ei, set())
    print(len(set(V) - connected))
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